Tema 4

Óptica

Principio de Huygens

Cada punto de un frente de onda primario se convierte en el emisor de ondas esféricas secundarias tales que el frente de onda un momento más tarde es la envolvente de estas ondas secundarias.
Puntos correspondientes

Los puntos de intersección de un rayo con un conjunto de frentes de onda
Teorema de Malus-Dupin

Los rayos permanecen ortogonales a los frentes de onda a través de todos los procesos de propagación en los medios isótropos
Óptica Geométrica

El objetivo fundamental es determinar las trayectorias de la energía radiante a través de distintos medios materiales

Si la longitud de onda es muy pequeña en comparación con el tamaño de los obstáculos y aperturas que se encuentra a su paso, se pueden despreciar los efectos de la difracción.
Velocidad de la luz

$c = \frac{1}{ϵ _{0} μ _{0}}$

$ε_{0}$ = permeabilidad eléctrica del vacío = $8.8544 \times 1 0^{- 12} (\frac{c ^{2}}{N m ^{2}})$

$μ_{0} =$ permeabilidad magnética del vacío = $1.2566 \times 1 0^{- 6} (\frac{m . k g}{c ^{2}})$

$c \approx 3 \times 1 0^{8} (m / s)$

La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todas las longitudes de onda

$c = λ_{0} f$

Rojo - $f$ más baja; $λ$ más alta

Violeta - $f$ más alta; $λ$ más baja
Índice de refracción

$n = \frac{c}{v}$

$v -$ velocidad del medio

Agua - n=1,33

Vídrio - n=1,5

Aire - n=1,0003
- Fórmula de Maxwell
  
  $n = \frac{ϵ _{r}}{μ _{r}}$
  
  $ϵ_{r} -$ permeabilidad dieléctrica relativa del medio>1
  
  $μ_{r} -$ permeabilidad magnética relativa del medio>1
Dispersión

Cuando la velocidad de propagación de la luz en una sustancia material es diferente para distintas longitudes de onda, o frecuencia, el medio se denomina dispersivo.
Polarización Lineal

La dirección de vibración del campo eléctrico es constante aunque su magnitud y signo varían con el tiempo:

$E_{x} = E_{o x} se n (k z - ω t + φ_{o x})$

$E_{y} = E_{oy} se n (k z - ω t + φ_{oy})$

$E_{z} = 0$

$E_{o x}, E_{oy} > 0$

$φ_{o x}, φ_{oy} \in [0, 2 π)$ $k = k u_{z}$
1. Polarización lineal
  
  $φ_{o x} - φ_{oy} = 0$
  
  $E_{x} = E_{o x} se n (k z - ω t)$
  
  $E_{y} = E_{oy} se n (k z - ω t)$
  
  $\frac{E _{y}}{E _{x}} = \frac{E _{oy}}{E _{o x}} = t g θ$
2. Polarización Lineal
  
  $φ_{o x} - φ_{oy} = π + 2 π N$
  
  $E_{x} = E_{o x} se n (k z - ω t + π) = - E_{o x} se n (k z - ω t)$
  
  $E_{y} = E_{oy} se n (k z - ω t)$
  
  $\frac{E _{y}}{E _{x}} = \frac{- E _{oy}}{E _{o x}} = t g θ$
Polarización Elíptica

$φ_{o x} - φ_{oy} = \pm \frac{π}{2}$

$E_{o x} \neq = E_{oy}$

$E_{x} = E_{o x} se n (k z - ω t + π /2) = E_{o x} cos (k z - ω t)$

$E_{y} = E_{oy} se n (k z - ω t)$

$\frac{E _{x}^{2}}{E _{o x}^{2}} = \frac{E _{y}^{2}}{E _{oy}^{2}} = 1$
- Dextrógira
  
  $φ_{o x} - φ_{oy} = + \frac{π}{2}$
  - Levógira
    
    $φ_{o x} - φ_{oy} = - \frac{π}{2}$
    
    En el caso más general de que:
    
    $φ_{o x} - φ_{oy} \neq = 0, \pm \frac{π}{2}, π$
    
    Si $φ_{o x} - φ_{oy} > 0$ Elípticamente polarizada a derechas.
    
    Si $φ_{o x} - φ_{oy} < 0$ Elípticamente polarizada a izquierdas.
Polarización Circular

$φ_{o x} - φ_{oy} = \pm \frac{π}{2}$

$E_{o x} = E_{oy} = E_{o}$

$E_{x} = E_{o x} se n (k z - ω t + π /2) = E_{o x} cos (k z - ω t)$

$E_{y} = E_{oy} se n (k z - ω t)$

$E_{x}^{2} = E_{y}^{2} = E_{o}^{2}$
Polarizador(Lámina polaroid)

$E_{1} :$ Luz polarizada en dirección $1 1^{'}$

$E_{2} :$ Luz polarizada en dirección $2 2^{'}$

$E_{2} = E_{1} cos θ$
Intensidad de las ondas luminosas

$I n t e n s i d a d = \frac{e n er g ı ˊ a}{( t i e m p o ) ( s u p er f i c i e )} = \frac{ω d S v d t}{d S d t} = v ω$

Para una onda electromagnética: $I = v ϵ E^{2} (W m^{- 2})$

$I = ϵ_{0} n c E^{2}$

Para una onda armónica linaealmente polarizada

$I = \frac{1}{2} ϵ_{0} n c E_{o}^{2}$ $E_{0}^{2} = \sum (E_{o x}^{2} + E_{oy}^{2})$

Reflexión y Refracción de la Luz

Leyes de la reflexión y refracción
1. Los rayos incidentes, reflejado y refractados están todos en el plano de incidencia.
2. $θ_{r}^{'} = θ_{i}$
3. $n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{r}$
Coeficientes de Fresnel
- Plano $∥$ : Definido por la dirección de incidencia $k_{i}$ y normal a la superficie.
- Plano $⊥$ : Coincide con la interfase de separación
- Incidente: $E (E_{i ∥}, E_{r ⊥})$
  
  $E_{i ∥} = E_{o i ∥} sin (k_{i} \cdot r - ω t + φ_{o ∥})$
  
  $E_{i ⊥} = E_{o i ⊥} sin (k_{i} \cdot r - ω t + φ_{o ⊥})$
- Reflejado: $E_{r}^{'} (E_{r ∥}^{'}, E_{i ⊥}^{'})$
  
  $E_{r ∥}^{'} = E_{or ∥}^{'} sin (k_{r} \cdot r - ω t + φ_{o ∥})$
  
  $E_{r ⊥}^{'} = E_{or ⊥}^{'} sin (k_{r} \cdot r - ω t + φ_{o ⊥})$
- Refractado: $E_{r} (E_{r ∥}, E_{r ⊥})$
  
  $E_{r ∥} = E_{or ∥} sin (k_{r} \cdot r - ω t + φ_{o ∥})$
  
  $E_{r ⊥} = E_{or ⊥} sin (k_{r} \cdot r - ω t + φ_{o ⊥})$
- Coeficientes de reflexión
  
  $R_{∥} = \frac{E _{or ⊥}^{'}}{E _{o i ∥}} = \frac{n _{2} c o s θ _{i} - n _{1} c o s θ _{r}}{n _{1} c o s θ _{r} + n _{2} c o s θ _{i}}$
  
  $R_{⊥} = \frac{E _{or ⊥}^{'}}{E _{o i ⊥}} = \frac{n _{1} c o s θ _{i} - n _{2} c o s θ _{r}}{n _{1} c o s θ _{i} + n _{2} c o s θ _{r}}$
- Coeficientes de transmisión
  
  $T_{∥} = \frac{E _{or ∥}}{E _{o i ⊥}} = \frac{2 n _{1} c o s θ _{i}}{n _{1} c o s θ _{r} + n _{2} c o s θ _{i}}$
  
  $T_{⊥} = \frac{E _{or ⊥}}{E _{o i ⊥}} = \frac{2 n _{1} c o s θ _{i}}{n _{1} c o s θ _{i} + n _{2} c o s θ _{r}}$
A partir de los coeficientes de Fresnel, podemos determinar las expresiones de las ondas reflejada y trasmitida su estado de polarización y intensidad
- Onda reflejada
  
  $E_{r ∥}^{'} = R_{∥} E_{o i ∥} sin (k_{r}^{'} \cdot r - ω t + φ_{o ∥})$
  
  $E_{r ⊥}^{'} = R_{⊥} E_{o i ⊥}^{'} sin (k_{r}^{'} \cdot r - ω t + φ_{o ⊥})$
- Onda refractada o transmitida
  
  $E_{r ∥} = T_{∥} E_{o i ∥} sin (k_{r} \cdot r - ω t + φ_{o ∥})$
  
  $E_{r ⊥} = T_{⊥} E_{o i ⊥} sin (k_{r} \cdot r - ω t + φ_{o ⊥})$
  
  Si $R_{∥} = 0$ se verifica que $E_{r ∥}^{'} = 0$ , la onda reflejada solo tiene la componente $E_{r ⊥}^{'}$ , por tanto, la luz reflejada está polarizada linealmente, siendo la dirección de vibración perpendicular al plano de incidencia.
  
  $R_{∥} = 0 ⟶ n_{2} cos θ_{i} - n_{1} cos θ_{r} = 0$
  
  $θ_{i} = \frac{π}{2} - θ_{r}$
  
  Aplicando Snell:
  
  $n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{r} = n_{2} cos θ_{i} \to t g θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$
  
  $θ_{B} \to$ Angulo de Brewster
  
  $θ_{B} + θ_{r} = \frac{π}{2}$

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