Ondas Unidimensionales

Tema 2

Ondas Unidimensionales

• Funciones viajeras

  

• Ecuación de Onda

  

• Ondas armónicas unidimensionales

  

  

  ${\psi }_0-$ Amplitud ${\phi }_0-$ Fase inicial $k-$ constante de propagación $m^{-1}$

  $\lambda =\frac{2\pi }{k}-$Longitud de onda

  $\sin \alpha =\cos (\alpha -\frac{\pi }{2})$

  $\cos \beta =\sin (\alpha +\frac{\pi }{2})$

  $\omega =kv$

  $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{kv}=\frac{\lambda }{v}$

  $f=\frac{1}{T}=\frac{v}{\lambda }$

  Una onda unidimensional tiene dos periodicidades, una inducida por la otra

  • Periodicidad Espacial

    $k=\frac{2\pi }{\lambda }$

  • Periodicidad Temporal

    $\omega =\frac{2\pi }{T},f=\frac{1}{T}$

Ondas Tridimensionales

• Ecuación de onda

  $\psi =f(x-vt)$ es una onda tridimensional propagándose según el eje x positivo a velocidad $v$.

  • Onda plana propagándose en cualquier dirección

    $\psi (\overrightarrow{r},t)=f(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{r}-vt)=f(u_{x}x+u_{y}y+u_{z}z-vt)$

• Onda armónica plana

  $\psi (\overrightarrow{r},t)={\psi }_0\cos (\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}-\omega t+{\phi }_0)$

  $\overrightarrow{k}=k\overrightarrow{u}$ - vector propagación

Ondas Esféricas

• Ecuación de onda

  $\psi (\overrightarrow{r},t)=\frac{f(r-vt)}{r}$

  $r=|\overrightarrow{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

  $\psi (\overrightarrow{r},t)=\frac{A}{r}\cos (kr-\omega t+{\phi }_0)$

  Amplitud - $\frac{A}{r}$

Frentes de Onda y Velocidad de Fase

• Ecuación de Onda

  $\psi (\overrightarrow{r},t)={\psi }_0(\overrightarrow{r})\cos (g(\overrightarrow{r})-\omega t)$

  ${\psi }_0-$Función amplitud

  ${\psi }_0(\overrightarrow{r})-cte$ Lugar geométrico de puntos que vibran con misma amplitud

  $g(\overrightarrow{r})-\omega t$ - Fase

  $g(\overrightarrow{r})-cte$ - Frentes de onda

Ondas Armónicas Generales: Notación Compleja

• Ecuación de onda

  $\psi (\overrightarrow{r},t)={\psi }_0(\overrightarrow{r})e^{i[g(\overrightarrow{r})-\omega t]}$

  $\overrightarrow{{\psi }_0}(\overrightarrow{r})e^{ig(\overrightarrow{r})}={\psi }_0(\overrightarrow{r})-$ Amplitud Compleja

  $\overrightarrow{{\psi }_0}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{{\psi }_0}(\overrightarrow{r})e^{-i\omega }$

Superposición de Ondas

Superposición de ondas es lo mismo que la suma de ondas y es lo mismo que interferencia de ondas

Superposición de dos o más ondas es otra onda, en general con características diferentes

• Superposición de ondas de la misma frecuencia

  La superposición de ondas de la misma frecuencia es otra onda de misma frecuencia

  $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos (\frac{\alpha -\beta }{2})\cos (\frac{\alpha +\beta }{2})$

  $\sin A+\sin B=2\sin (\frac{A+B}{2})\cos (\frac{A-B}{2})$

  Con cosenos:

  $\psi ={\psi }_1+{\psi }_2={\psi }_0\cos (kx-\omega t+{\phi }_{01})+{\psi }_{0}cos(kx-\omega t+{\phi }_{02})$

  Resultante:

  $\psi ={\psi }_1+{\psi }_2=2{\psi }_0\cos (\frac{{\phi }_{01}-{\phi }_{02}}{2})\cos [(kx-\omega t)+\frac{{\phi }_{01}+{\phi }_{02}}{2}]$

  Amplitud:

  $\psi =2{\psi }_0\cos [\frac{{\phi }_{01}-{\phi }_{02}}{2}]$

  Con senos:

  $\psi ={\psi }_1+{\psi }_2={\psi }_0\sin (kx-\omega t+{\phi }_{01})+{\psi }_0\sin (kx-\omega t+{\phi }_{02})$

  Resultante:

  $\psi =2{\psi }_0\cos [\frac{{\phi }_{01}-{\phi }_{02}}{2}]\sin [(kx-\omega t)+\frac{{\phi }_{01}+{\phi }_{02}}{2}]$

  Amplitud:

  $\psi =2{\psi }_0\cos [\frac{{\phi }_{01}-{\phi }_{02}}{2}]$

• Superposición de ondas idénticas, pero en sentido contrario

  ${\psi }_1={\psi }_0\sin (kx+\omega t)$ ${\psi }_2={\psi }_0\sin (kx-\omega t)$

  $\psi ={\psi }_1+{\psi }_2={\psi }_0\sin (kx+\omega t)+\sin (kx-\omega t)$

  RESULTANTE:

  $\psi =2{\psi }_0\sin kx\cos (\omega t)$ - Onda estacionaria

  En los nodos $\sin kx=0\to kx=n\pi \to x=\frac{n\lambda }{2}$

  Los nodos están separados $\frac{\lambda }{2}$

• Superposición de ondas de mismo sentido y diferente amplitud

  ${\Psi }_0=\sqrt{A_1^2-A_2^2+2A_1{A}_2\cos \varphi }$

  $\varphi =\mathrm{arctg}\frac{A_2\sin \varphi }{A_1+A_2\cos \varphi }$

Ondas no Armónicas

• Paquete de onda o pulso

  Puede descomponerse en la suma de muchas ondas armónicas de diferentes amplitudes y frecuencias.

  Velocidad de grupo es la velocidad que viaja el paquete de onda

  Puede obtenerse un paquete de onda con ondas armónicas de frecuencias muy parecidas

  ${\psi }_1={\psi }_0\sin (k_{1}x-{\omega }_{1}t)$ ${\psi }_2={\psi }_0\sin (k_{2}x-{\omega }_{2}t)$

  $\psi ={\psi }_1+{\psi }_2=2{\psi }_0\cos \frac{1}{2}[(k_1-k_2)x-({\omega }_1-{\omega }_2)t]\sin \frac{1}{2}[(k_1+k_2)x-({\omega }_1+{\omega }_2)t]$

  • Onda portadora

    ${\omega }_0=\frac{1}{2}({\omega }_1+{\omega }_2)$ - Frecuencia de la onda portadora

    $k_0=\frac{1}{2}(k_1+k_2)$ - Cte. de la onda portadora

  • Onda Moduladora o envolvente

    ${\omega }_m=\frac{1}{2}({\omega }_1-{\omega }_2)$- Frecuencia de la envolvente

    $k_m=\frac{1}{2}(k_1-k_2)$ - Cte. de la envolvente

  ${\omega }_0\approx {\omega }_1\approx {\omega }_2$ $k_0\approx k_1\approx k_2$

  ${\omega }_1-{\omega }_2=\Delta \omega$ $k_1-k_2=\Delta k$

  ${\omega }_0>>{\omega }_m$ $k_0>>k_m$

  Perturbación total:

  $\psi =2{\psi }_0\cos (k_{m}x-{\omega }_{m}t)sen(k_{0}x-{\omega }_{0}t)$

  $\psi =2{\psi }_0\cos (k_{m}x-{\omega }_{m}t)-$ Moduladora

  $\sin (k_{0}x-{\omega }_{0}t)-$Portadora

  Fase de la portadora: $\phi =(k_{0}x-{\omega }_{0}t)$

  Fase de la moduladora: ${\phi }_m=(k_{m}x-{\omega }_{m}t)$

  Velocidad de fase: $v=\frac{{\omega }_0}{k_0}$

  Velocidad de grupo: $v_g=\frac{{\omega }_m}{k_m}=\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{k_1-k_2}=\frac{\Delta \omega }{\Delta k}$

  Representa un movimiento ondulatorio de amplitud modulada, que consiste:

  • Una onda portadora de longitud de onda corta(alta frecuencia ${\omega }_0)$
  • Una modulación en amplitud

  

Reflexión y Refracción

• Leyes de Reflexión y Refracción

  1. Los rayos de incidencia, reflexión y refracción están todos en el plano de incidencia
  2. ${\theta }_i={\theta }_r^{\prime }$
  3. Ley de Snell: $\frac{\sin {\theta }_i}{v_i}=\frac{\sin {\theta }_r}{v_2}⟶n_2\sin {\theta }_r=n_1\sin {\theta }_i$

• Incidencia oblicua

  • $n_2>n_1$

    $v_2<v_1$

    ${\theta }_r<{\theta }_i$

    La onda refractada se acerca a la normal

    

  • $n_2<n_1$

    $v_1>v_2$

    ${\theta }_r>{\theta }_i$

    La onda refractada se aleja de la normal

    

  • $\frac{n_2}{n_1}=\sin {\theta }_i$

    ${\theta }_r=\frac{\pi }{2}=90º$

    La onda refractada es rasante a la superficie

    

• Angulo límite o crítico

  Puede ocurrir cuando una onda pasa de un medio a otro de forma que la velocidad del segundo es mayor que la del primero

  $\sin {\theta }_l=\frac{n_2}{n_1}$

Fenómenos de Interferencia y Difracción

• Intensidad del movimiento ondulatorio

  En un movimiento ondulatorio hay un transporte de energía de unas regiones a otras

  $Intensidad=\frac{Energ\acute{ı}a}{(Tiempo)(Superf\acute{ı}cie)}=\frac{\omega dSvdt}{dSdt}$

  $I=\omega v$

  La intensidad será proporcional a la amplitud al cuadrado

  $I=k{\Psi }_0^2$

  $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos [k(r_1-r_2)+{\phi }_{01}-{\phi }_{02}]$

• Interferencias

  Las ondas que interfieren son armónicas de la misma frecuencia

  • Fuente síncronas

    ${\phi }_{01}-{\phi }_{02}=0$

    • Interferencia constructiva

      $r_2-r_1=N\lambda$

    • Interferencia destructiva

      $r_2-r_1=\frac{\lambda }{2}+N\lambda$

  • Fuentes coherentes

    Diferencia de fase: $\delta ={\phi }_2-{\phi }_1=k(r_2-r_1)+{\phi }_{02}-{\phi }_{01}$

    

  • Fuentes incoherentes

    ${\phi }_1-{\phi }_2\ne cte.$

    No producen interferencia

  • Experimento de Young

    $\delta ={\phi }_2-{\phi }_1=\frac{2\pi }{\lambda }a\sin \theta =\frac{2\pi ax}{\lambda D}$

    

    • Máximos

      • Direcciones: $\sin \theta =\frac{N\lambda }{a}$
      • Posiciones: $x=\frac{N\lambda D}{a}$

    • Mínimos

      • Direcciones: $\sin \theta =\frac{\lambda }{2a}(1+2N)$
      • Posiciones: $x=\frac{D\lambda }{2a}(1+2N)$

    • Distancia entre dos franjas

      $\Delta x=\frac{D}{a}\lambda$

  • Intensidad

    $I=4I_1{\cos }^2\frac{\delta }{2}=4I_1{\cos }^2(\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda })=4I_1{\cos }^2(\frac{\pi ax}{\lambda D})$