Movimiento vibratorio

Tema 1

Movimiento vibratorio

Vibraciones

• Tipos de vibraciones (2)

  • Libres

    No amortiguadas/Amortiguadas

  • Forzadas

    No amortiguadas/Amortiguadas

Elementos de un sistema oscilatorio (3)

• Inercia (masas)

  $F=m\alpha =m\ddot{x}$

• Elásticos

  $F=kx$

• Amortiguamiento

  • Rozamiento viscoso

    $F_V=cv$

    $c$ - coeficiente de amortiguamiento

  • Rozamiento de fricción seca

    $F=\mu N$

Ecuación general de un sistema masa-resorte

• Movimiento libre

  $m\ddot{x}+kx=0$

• Forzado no amortiguado

  $m\ddot{x}+kx=F$

• Forzado amortiguado

  $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F$

Movimiento armónico simple

• Fórmula

  $x(t)=Asen(\omega t+{\phi }_0)$

  $x$ - elongación

  $A$ - Amplitud

  Fase: $\phi =\omega t+{\phi }_0$

  Fase inicial: ${\phi }_0$

• Periodo T

  $T=\frac{2\pi }{\omega }$

• Frecuencia

  $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$ (Hz)

• Frecuencia Angular

  $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$

• Condiciones iniciales

  $x_0=Asen({\phi }_0)$

  $V_0=A{\omega }_{n}cos\phi$

  $A=\sqrt{x_0^2+(\frac{V_0}{{\omega }_n}{)}^2}$

  ${\phi }_0=arctg(\frac{x_0{\omega }_n}{V_0})$

  $x(t)=x_{0}cons{\omega }_{n}t+\frac{v_o}{{\omega }_n}sen{\omega }_{n}t$

• Vibración propia natural

  $T_n=\frac{2\pi }{{\omega }_n}⟶{\omega }_n=2\pi f_n$ (Hz)

Derivadas de la ecuación del desplazamiento

Desplazamiento

$x(t)=Asen({\omega }_{n}t+{\phi }_0)$

Velocidad

$v(t)=\dot{x}(t)=A{\omega }_{n}cos({\omega }_{n}t+{\phi }_0)=A{\omega }_{n}sen({\omega }_{n}t+{\phi }_0+\frac{\pi }{2})$

Aceleración

$a(t)=\ddot{x}(t)=-A{\omega }_n^{2}sen({\omega }_{n}t+{\phi }_0)=A{\omega }_n^{2}sen({\omega }_{n}t+{\phi }_0+\pi )=-{\omega }_n^{2}x$

Características

• El período de oscilación no depende de la amplitud
• En las posiciones extremas la velocidad es nula
• La velocidad es máxima en el punto medio de la oscilación
• La fuerza restauradora en cualquier punto del movimiento es proporcional a su distancia al punto central

Energía del movimiento armónico simple

• Energía cinética

  $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }_n^{2}co{s}^2({\omega }_{n}t+{\phi }_0)=\frac{1}{2}m{\omega }_n^2(A^2-x^2)$

  $E_c$ - máxima en el centro

  $E_c=0$ - en los extremos

• Energía potencial de deformación

  $E_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^{2}se{n}^2({\omega }_{n}t+{\phi }_0)$

• Trabajo realizado por una fuerza para producir una deformación x:

  $W=\int \overrightarrow{F}d\overrightarrow{r}={\int }_0^{x}kxdx=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^{2}se{n}^2({\omega }_{n}t+{\phi }_0)$

• Energía total

  $E_T=\frac{1}{2}k{x}^2+\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }_n^2{A}^2=cte$

Oscilador armónico simple

$m{s}^2+cs+kx=0$

$S_{1,2}=\frac{-c+\sqrt{c^2-4Km}}{2m}=\frac{-c}{2m}\pm \sqrt{(\frac{c}{2m}{)}^2-\frac{K}{m}}$

$(\frac{c}{2m}{)}^2-\frac{K}{m}\le 0$

• $>0$

  • Reales negativas

• $=0$

  Doble

• $<0$

  Imaginarias conjugadas

• Amortiguamiento critico

  $(\frac{c}{2m}{)}^2=\frac{K}{m}\to c=2m{\omega }_n=2\sqrt{Km}$

Representación compleja del movimiento vibratorio

$\overrightarrow{X}=A[cos({\omega }_{n}t+{\phi }_0)+isen({\omega }_{n}t+{\phi }_0)]$

$\overrightarrow{X}=A{e}^{i({\omega }_{n}t+{\phi }_0)}$

• Ratio de amortiguamiento

  $\zeta =\frac{c}{c_{cr}}=\frac{c}{2\sqrt{km}}=\frac{c}{2m{\omega }_n}$

• Sistemas sobreamortiguados

  $c>c_{cr}⟶\zeta >1$

  Raíces reales y negativas

  Movimiento resultante no oscilatorio

• Sistemas con amortiguamiento crítico

  $c=c_{cr}⟶\zeta =1$

  Movimiento resultante no oscilatorio

• Sistemas Subamortiguados

  $c<c_{cr}⟶\zeta <1$

  ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$

  Oscilatorio

  ${\omega }_d$ - frecuencia angular de vibración amortiguada

• Desplazamiento del sistema

  $x(t)=A{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}sen({\omega }_{d}t+{\phi }_0)$

  $-\zeta {\omega }_{n}t$ - efecto disipativo

• Decremento logaritmico

  $\delta =ln\frac{x_1}{x_2}=ln\frac{e^{-\zeta {\omega }_n{t}_1}}{e^{-\zeta {\omega }_n(t_1+T_d)}}=\zeta {\omega }_n{T}_d=\frac{2\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}$

  Para $\delta =2\pi \zeta$ si $\zeta <<1$

Vibraciones forzadas

$F(t)=F_{0}sen(\Omega t)$

Ecuación diferencial: $m\ddot{x}+c\dot{x}+Kx=F_{0}sen(\Omega t)$

Solución: $x(t)=x_h(t)+x_p(t)$

Homogénea: $x_h(t)=A{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}sen({\omega }_{d}t+{\phi }_0)-$ Respuesta transitoria

Particular: $x_p(t)=X_{0}sen(\Omega t+\varphi )-$Respuesta permanente

• Amplitud $X_o$

  $X_0=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_n^2-{\Omega }^2)+4{\gamma }^2{\Omega }^2}}=\frac{{\delta }_{st}}{\sqrt{(1-r^2)+(2\zeta r{)}^2}}$

• $r$ ratio de frecuencia

  Relación de la fuerza excitadora y la frecuencia natural del sistema libre: $r=\frac{\Omega }{{\omega }_n}$

• ${\delta }_{st}$ deformación estática

  ${\delta }_{st}=\frac{F_0}{K}$

• Desfase $\varphi$

  Retraso de la respuesta respecto de la fuerza aplicada

  $tan\varphi =\frac{-c\Omega }{K-m{\Omega }^2}=\frac{-2\gamma \Omega }{{\omega }_n^2{\Omega }^2}=\frac{-2\zeta r}{1-r^2}$

• Factor dinámico de amplificación $H$

  Numero de veces que la amplitud de oscilación dinámica sobrepasa la estática

  $|H|=|\frac{X_0}{{\delta }_{st}}|=\frac{1}{\sqrt{(1-(\Omega /{\omega }_n{)}^2{)}^2+(2\zeta \Omega /{\omega }_n{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)+(2\zeta r{)}^2}}$

• Resonancia en amplitud

  Para frecuencias de excitación muy próximas a la propia del sistema la amplitud se incrementa bruscamente

  Para frecuencias de excitación cercanas a la propia del sistema, pero no muy próximas obtenemos una pulsación

  $|X_0{|}_{max}=\frac{F_0/m}{2\gamma }\sqrt{{\omega }_n^2-{\gamma }^2}=\frac{F_0/K}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$

  $|H{|}_{max}=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$

• Frecuencia de resonancia

  ${\Omega }_r=\sqrt{{\omega }_n^2-2{\gamma }^2}={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$

• Resonancia en energía

  Velocidad y energía cinética máxima

  $v=\dot{x}=X_{0}cos(\Omega t+\varphi )$

  $|V_0{|}_{max}=\frac{F_0/m}{2\gamma }$

  Frecuencia de resonancia: ${\Omega }_{rel}={\omega }_n$

• Representación del factor de amplificación en función de $r$ y $|H|$