Acústica

Tema 3

Acústica

• Ecuación de onda para una onda transversal

  $\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=\frac{1}{\frac{T}{pl}}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}$

  • Velocidad de propagación

    $v=\sqrt{\frac{T}{p_l}}$

    $p_l$ - (Kg/m)

• Tensión

  $\sigma =\frac{F}{S}$

• Alargamiento $\Delta l$

  $ϵ=\frac{\Delta l}{l}$ (deformación)

• Módulo de Young $E$

  $\mathrm{E}=\frac{\sigma }{ϵ}=\frac{F/S}{\Delta l/l}$

• Ley de Hooke $\sigma$

  $\sigma =\frac{F}{S}=\mathrm{E}ϵ$

• Ecuación de onda para una onda longitudinal

  • Velocidad de propagación

    $v=\sqrt{\frac{\mathrm{E}}{\rho }}$

• Ondas Estacionarias

  $\psi ={\psi }_0\sin (kx)\cos (\omega t)$

  • Longitud de onda

    Dependen del número de armónicos $n$

    ${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$

  • Distancia entre nodos

    $\Delta x=\frac{\lambda }{2}$

Ondas sonoras o de presión en un gas

• Coeficiente de compresibilidad $\chi$

  $\chi =\frac{-1}{V}\frac{\Delta V}{\Delta p}$

  $p=p_0\frac{-1}{\chi }\frac{\partial \Psi }{\partial x}$

• Ecuación de onda que describe la propagación de una onda de desplazamiento ( longitudinal ) en un gas

  • Velocidad de propagación

    $v=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0\chi }}$

  • Módulo de elasticidad de volumen

    $B=\frac{1}{\chi }$

    $v=\sqrt{\frac{B}{{\rho }_0}}$

• Relación entre la onda de presión y desplazamiento

  • Sobrepresión $\mathcal{P}$

    $\mathcal{P}=p-p_0$

  • Onda de sobrepresión

    $\mathcal{P}=p-p_0=\frac{{\Psi }_{0}k}{\chi }sen(kx-\omega t)={\mathcal{P}}_{0}cos(kx-\omega t-\pi /2)$

    La sobrepresión $\mathcal{P}$ se propaga con la misma velocidad $v=\frac{\omega }{k}$ y esta defasada $-\pi /2$ respecto de $\Psi$

  • Amplitud ${\mathcal{P}}_0$

    ${\mathcal{P}}_o=\frac{{\Psi }_{0}k}{\chi }={\Psi }_{0}k{\rho }_0{v}^2={\Psi }_0{\rho }_{0}v\omega ={\Psi }_0{\rho }_{0}v2\pi f$

  • velocidad de propagación del sonido en un gás

    $v=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0\chi }}$

  • velocidad de propagación en función de la temperatura

    $v=\sqrt{\frac{\gamma R{T}_0}{M}}$

Intensidad de las ondas sonoras

$I=\frac{P}{S}$ $(\frac{W}{st})$

• Intensidad media para una onda armónica plana

  $I=\frac{1}{2}\frac{{\Psi }_0^{2}k\omega }{\chi }=\frac{1}{2}{\rho }_{0}v{\omega }^2{\Psi }_0^2=\frac{{{\mathcal{P}}_0}^2}{2v{\rho }_0}$

• Impedancia o resistencia acústica $Z$

  $Z={\rho }_{0}v$

  ${\mathcal{P}}_0={\Psi }_0\omega Z$

  $I=\frac{1}{2}\frac{{\mathcal{P}}_0}{Z}$

Ondas esféricas

Si no hay perdidas en el medio, cada frente de onda recibe la misma energía y, en consecuencia, al cambiar la superficie del frente de onda, la intensidad varia de un frente a otro.

$P=I_{1}4\pi r_1^2=I_{2}4\pi r_2^2$

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}$

• Nivel de intensidad

  $B=\log (\frac{I}{I_0})$ (dB)

  $I_0$ - $10^{-12}(W{m}^{-2})$

  Rango de frecuencias al que es sensible el oído humano medio 20Hz a 20kHz

  Todos lo sonidos de una misma curva les corresponde la misma sonoridad. Este valor se cuantifica con el numero de fones que coincida con el numero de dB.

  

Efecto Doppler

$f´=\frac{v-v_0}{v-v_F}f$

• Frecuencia recibida por el observador

  • Fuente fija

    $v_F=0$

    • Si el observador se aleja a la fuente

      $v_0>0$

    • Si el observador se acerca a la fuente

      $v_0<0$

  • Observador fijo

    $v_0=0$

    • Si la fuente se acerca al observador

      $v_F>0$

    • Si la fuente se aleja del observador

      $v_F<0$